La importancia filosófica de la lógica matemática | por Bertrand Russell ~ Bloghemia -->

La importancia filosófica de la lógica matemática | por Bertrand Russell

La importancia filosófica de la lógica matemática | por Bertrand Russell

La importancia filosófica de la lógica matemática | por Bertrand Russell

Texto del filósofo y matemático inglés, Bertrand Russell , publicados en "Documentos recopilados de Bertrand Russell" (1972) y esc...
septiembre 28, 2020
La importancia filosófica de la lógica matemática | por Bertrand Russell








Texto del filósofo y matemático inglés, Bertrand Russell , publicados en "Documentos recopilados de Bertrand Russell" (1972) y escrito originalmente en el año 1911.

 



Por: Bertrand Russell 

Hablando de "Lógica matemática", uso esta palabra en un sentido muy amplio. Por él entiendo los trabajos de Cantor sobre números transfinitos así como el trabajo lógico de Frege y Peano. Weierstrass y sus sucesores han "aritmetizado" las matemáticas; es decir, han reducido todo el análisis al estudio de números enteros. La realización de esta reducción indicaba la culminación de una etapa muy importante, al final de la cual bien podría permitirse un breve descanso al espíritu de disección. Sin embargo, la teoría de los números enteros no puede constituirse de manera autónoma, especialmente cuando tenemos en cuenta la semejanza en las propiedades de los números finitos e infinitos. Era, pues, necesario ir más lejos y reducir la aritmética, y sobre todo la definición de números, a la lógica. Por el nombre "

En un examen del trabajo realizado por la lógica matemática, podemos considerar los resultados matemáticos, el método de razonamiento matemático revelado por el trabajo moderno, o la naturaleza intrínseca de las proposiciones matemáticas de acuerdo con el análisis que la lógica matemática hace de ellas. Es imposible distinguir exactamente estos tres aspectos del tema, pero hay suficiente distinción para servir al propósito de un marco de discusión. Se podría pensar que el orden inverso sería el mejor; que primero debemos considerar qué es una proposición matemática, luego el método por el cual se demuestran tales proposiciones, y finalmente los resultados a los que este método nos lleva. Pero el problema que tenemos que resolver, como todo problema verdaderamente filosófico, es un problema de análisis; y en problemas de análisis el mejor método es el que parte de los resultados y llega a las premisas. En lógica matemática son las conclusiones las que tienen el mayor grado de certeza: cuanto más nos acercamos a las premisas últimas, más incertidumbre y dificultad encontramos.

Desde el punto de vista filosófico, los resultados más brillantes del nuevo método son las teorías exactas que hemos podido formar sobre el infinito y la continuidad. Sabemos que cuando tenemos que ver con colecciones infinitas, por ejemplo la colección de números enteros finitos, es posible establecer una correspondencia uno a uno entre la colección completa y una parte de sí misma. Por ejemplo, existe tal correspondencia entre los enteros finitos y los números pares, ya que la relación de un número finito con su doble es de uno a uno. Por tanto, es evidente que el número de una colección infinita es igual al número de una parte de esta colección. Anteriormente se creía que esto era una contradicción; incluso Leibnitz, aunque era partidario del infinito actual, negó el número infinito debido a esta supuesta contradicción. Pero para demostrar que existe una contradicción debemos suponer que todos los números obedecen a la inducción matemática. Para explicar la inducción matemática, llamemos con el nombre de "propiedad hereditaria" de un número una propiedad que pertenece an + 1 siempre que pertenezca a n . Tal es, por ejemplo, la propiedad de ser mayor que 100. Si un número es mayor que 100, el siguiente número es mayor que 100. Llamemos por el nombre "propiedad inductiva" de un número una propiedad hereditaria que es poseído por el número cero. Tal propiedad debe pertenecer a 1, ya que es hereditaria y pertenece a 0; de la misma forma, debe pertenecer a 2, ya que pertenece a 1; y así. En consecuencia, los números de la vida diaria poseen todas las propiedades inductivas. Ahora bien, entre las propiedades inductivas de los números se encuentra la siguiente. Si alguna colección tiene el número n, ninguna parte de esta colección puede tener el mismo número n. En consecuencia, si todos los números poseen todas las propiedades inductivas, existe una contradicción con el resultado de que hay colecciones que tienen el mismo número como parte de sí mismas. Esta contradicción, sin embargo, deja de subsistir tan pronto como admitimos que hay números que no poseen todas las propiedades inductivas. Y luego parece que no hay contradicción en un número infinito. Cantor ha creado incluso toda una aritmética de números infinitos, y por medio de esta aritmética ha resuelto completamente los problemas anteriores sobre la naturaleza del infinito que han perturbado la filosofía desde la antigüedad.

Los problemas del continuo están estrechamente relacionados con los problemas del infinito y su solución se efectúa por los mismos medios. Las paradojas de Zenón el Eleático y las dificultades en el análisis del espacio, del tiempo y del movimiento, se explican completamente por medio de la teoría moderna de la continuidad. Esto se debe a que se ha encontrado una teoría no contradictoria, según la cual el continuo se compone de una infinidad de elementos distintos; y esto antes parecía imposible. No se puede llegar a todos los elementos mediante una dicotomía continua; pero no se sigue que estos elementos no existan.

De aquí se sigue una revolución completa en la filosofía del espacio y el tiempo. Las teorías realistas que se creían contradictorias ya no lo son, y las teorías idealistas han perdido toda excusa que pudiera haber para su existencia. El flujo, que se creía incapaz de análisis en elementos indivisibles, se muestra susceptible de análisis matemático, y nuestra razón se muestra capaz de dar una explicación del mundo físico y del mundo sensible sin suponer saltos donde hay es la continuidad, y también sin renunciar al análisis en elementos separados e indivisibles.

La teoría matemática del movimiento y otros cambios continuos utiliza, además de las teorías del número infinito y de la naturaleza del continuo, dos nociones correlativas, la de función y la de variable. La importancia de estas ideas puede demostrarse con un ejemplo. Todavía encontramos en los libros de filosofía un enunciado de la ley de causalidad en la forma: "Cuando vuelva a ocurrir la misma causa, también ocurrirá el mismo efecto". Pero se podría señalar con mucha razón que la misma causa nunca vuelve a suceder. Lo que realmente ocurre es que hay una relación constante entre las causas de un cierto tipo y los efectos que resultan de ellas. Dondequiera que exista una relación tan constante, el efecto es función de la causa. Mediante la relación constante sumamos en una sola fórmula una infinidad de causas y efectos, y evitamos la hipótesis gastada de la repetición. de la misma causa. Es la idea de funcionalidad, es decir la idea de relación constante, lo que da el secreto del poder de las matemáticas para tratar simultáneamente una infinidad de datos.

Para comprender el papel que desempeña la idea de una función en matemáticas, primero debemos comprender el método de deducción matemática. Se admitirá que las demostraciones matemáticas, incluso aquellas que se realizan mediante lo que se llama inducción matemática, son siempre deductivas. Ahora bien, en una deducción casi siempre sucede que la validez de la deducción no depende del tema del que se habla, sino solo de la forma de lo que se dice sobre él. Tomemos, por ejemplo, el argumento clásico: todos los hombres son mortales, Sócrates es un hombre, luego Sócrates es mortal. Aquí es evidente que lo que se dice sigue siendo cierto si Platón o Aristóteles o cualquier otro sustituye a Sócrates. Entonces podemos decir: si todos los hombres son mortales y si x es un hombre, entonces xes mortal. Ésta es una primera generalización de la proposición que partimos. Pero es fácil llegar más lejos. En la deducción que se ha dicho, nada depende de que sean los hombres y los mortales los que ocupen nuestra atención. Si todos los miembros de cualquier clase a son miembros de una clase s , y si x es miembro de la clase a, entonces x es miembro de la clase s. En este enunciado, tenemos la forma lógica pura que subyace a todas las deducciones de la misma forma que la que prueba que Sócrates es mortal. Para obtener una proposición de matemática pura (o de lógica matemática, que es lo mismo), debemos someter una deducción de cualquier tipo a un proceso análogo al que acabamos de realizar, es decir, cuando un argumento sigue siendo válido. si se cambia uno de sus términos, este término debe ser reemplazado por una variable, es decir, por un objeto indeterminado. De esta manera llegamos finalmente a una proposición de lógica pura, es decir una proposición que no contiene ninguna otra constante que las constantes lógicas. La definición de las constantes lógicas no es fácil, pero se puede decir lo siguiente: una constante es lógicasi las proposiciones en las que se encuentra todavía lo contienen cuando intentamos reemplazarlo por una variable. Más exactamente, quizás podamos caracterizar las constantes lógicas de la siguiente manera: si tomamos cualquier deducción y reemplazamos sus términos por variables, sucederá, después de un cierto número de etapas, que las constantes que aún permanecen en la deducción pertenecen a una cierto grupo y, si intentamos llevar la generalización aún más lejos, siempre quedarán constantes que pertenecen a este mismo grupo. 'Este grupo es el grupo de constantes lógicas. Las constantes lógicas son las que constituyen la forma pura; una proposición formal es una proposición que no contiene otras constantes que las constantes lógicas. Acabamos de reducir la deducción que prueba que Sócrates es mortal a la siguiente forma: "Si xes un a , entonces, si todos los miembros de a son miembros de b, se sigue que x es a b . "Las constantes aquí son: is- a, all, y if-then. Estas son constantes lógicas y evidentemente son conceptos puramente formales.

Ahora bien, la validez de cualquier deducción válida depende de su forma, y ​​su forma se obtiene reemplazando los términos de la deducción por variables, hasta que no queden otras constantes que las de la lógica. Y viceversa: toda deducción válida puede obtenerse partiendo de una deducción que opera sobre variables mediante constantes lógicas, atribuyendo a las variables valores definidos con los que la hipótesis se hace verdadera.

Mediante esta operación de generalización separamos el elemento estrictamente deductivo en un argumento del elemento que depende de la particularidad de lo que se habla. La matemática pura se ocupa exclusivamente del elemento deductivo. Obtenemos proposiciones de matemática pura mediante un proceso de purificación . Si digo: "Aquí hay dos cosas, y aquí hay otras dos, por lo tanto aquí hay cuatro cosas en total", no enuncio una proposición de matemática pura porque aquí se cuestionan datos particulares. La proposición que he expuesto es una aplicación. de la proposición general: "Dadas dos cosas cualesquiera y también otras dos cosas, hay cuatro cosas en total". La última proposición es una proposición de matemáticas puras, mientras que la primera es una proposición de matemáticas aplicadas.

Es obvio que lo que depende de la particularidad del sujeto es la verificación de la hipótesis, y esto nos permite afirmar, no solo que la hipótesis implica la tesis, sino que, dado que la hipótesis es verdadera, la tesis también lo es. Esta afirmación no se hace en matemáticas puras. Aquí nos contentamos con la forma hipotética: si cualquier sujeto satisface tal o cual hipótesis, también satisfará tal o cual tesis. Es así que la matemática pura se vuelve enteramente hipotética y se ocupa exclusivamente de cualquier tema indeterminado, es decir, de una variable. Toda deducción válida encuentra su forma en una proposición hipotética perteneciente a la matemática pura; pero en la matemática pura misma no afirmamos ni la hipótesis ni la tesis, a menos que ambas puedan expresarse en términos de constantes lógicas.

Si se pregunta por qué vale la pena reducir las deducciones a tal forma, respondo que hay dos razones asociadas para ello. En primer lugar, es bueno generalizar cualquier verdad tanto como sea posible; y, en segundo lugar, se produce una economía de trabajo haciendo la deducción con una x indeterminada. Cuando razonamos todo sobre Sócrates, obtenemos resultados que se aplican sólo a Sócrates, de modo que, si deseamos saber algo sobre Platón, tenemos que volver a realizar el razonamiento. Pero cuando operamos sobre x, obtenemos resultados que sabemos que son válidos para cada x que satisface la hipótesis. Los motivos científicos habituales de la economía y la generalización nos llevan, entonces, a la teoría del método matemático que acabamos de esbozar.

Después de lo que se acaba de decir, es fácil ver lo que debe pensarse sobre la naturaleza intrínseca de las proposiciones de la matemática pura. En matemáticas puras nunca hemos de discutir hechos que sean aplicables a tal o cual objeto individual; nunca necesitamos saber nada sobre el mundo real. Nos interesan exclusivamente las variables, es decir, cualquier tema, sobre las cuales se formulan hipótesis que pueden cumplirse en ocasiones, pero cuya verificación para tal o cual objeto sólo es necesaria por la importanciade las deducciones, y no por su verdad. A primera vista, podría parecer que todo sería arbitrario en tal ciencia. Pero esto no es así. Es necesario que la hipótesis implique verdaderamente la tesis. Si hacemos la hipótesis de que la hipótesis implica la tesis, solo podemos hacer deducciones en el caso en que esta nueva hipótesis implique verdaderamente la nueva tesis. La implicación es una constante lógica y no se puede prescindir de ella. En consecuencia, necesitamos proposiciones verdaderas sobre la implicación. Si tomáramos como premisas proposiciones sobre implicación que no fueran verdaderas, las consecuencias que parecerían derivarse de ellas no estarían realmente implicadas por las premisas, de modo que no obtendríamos ni siquiera una prueba hipotética. Esta necesidad de premisas verdaderas enfatiza una distinción de primera importancia, es decir la distinción entre una premisa y una hipótesis. Cuando decimos "Sócrates es un hombre, por tanto , Socrates es mortal ", la proposición" Sócrates es un hombre "es una premisa, pero cuando decimos:" Si Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es mortal ", la proposición" Sócrates es un hombre "es sólo una hipótesis. De manera similar cuando digo: "Si de p deducimos q y de q deducimos r, entonces de p deducimos r ", la proposición "De p deducimos q y de q deducimos rlas premisas inmediatas pueden ser falsas sin que las deducciones sean lógicamente incorrectas, pero, en los fundamentos, las deducciones serán incorrectas si las premisas no son verdaderas. Es necesario tener claro este punto, porque de lo contrario la parte de la arbitrariedad y de la hipótesis podría parecer mayor de lo que es en realidad.

Las matemáticas, por tanto, están compuestas enteramente de proposiciones que sólo contienen variables y constantes lógicas, es decir, proposiciones puramente formales, pues las constantes lógicas son las que constituyen la forma. Es notable que tengamos el poder de conocer tales proposiciones. Las consecuencias del análisis del conocimiento matemático no carecen de interés para la teoría del conocimiento. En primer lugar, hay que señalar, en oposición a las teorías empíricas, que el conocimiento matemático necesita premisas que no se basen en los datos del sentido. Toda proposición general va más allá de los límites del conocimiento obtenido a través de los sentidos, que está totalmente restringido a lo individual. Si decimos que la extensión del caso dado al general se efectúa por inducción, nos vemos obligados a admitir que la inducción misma no se prueba por medio de la experiencia. Cualquiera que sea la formulación exacta del principio fundamental de inducción, es evidente que, en primer lugar, este principio es general y, en segundo lugar, no puede, sin un círculo vicioso, demostrarse él mismo por inducción.

Es de suponer que el principio de inducción se puede formular más o menos de la siguiente manera. Si se nos da el hecho de que cualesquiera dos propiedades ocurren juntas en un cierto número de casos, es más probable que un nuevo caso que posea una de estas propiedades posea la otra que si no tuviéramos tal dato. No digo que ésta sea una formulación satisfactoria del principio de inducción; Sólo digo que el principio de inducción debe ser así en la medida en que debe ser un principio absolutamente general que contenga la noción de probabilidad. Ahora bien, es evidente que la experiencia sensorial no puede demostrar tal principio, y ni siquiera puede hacerlo probable; porque es sólo en virtud del principio mismo que el hecho de que a menudo haya tenido éxito da base a la creencia de que probablemente tendrá éxito en el futuro. Por tanto, el conocimiento inductivo, como todo conocimiento que se obtiene mediante el razonamiento, necesita principios lógicos quea priori y universal. Al formular el principio de inducción, transformamos cada inducción en una deducción; la inducción no es más que una deducción que utiliza una cierta premisa, a saber, el principio de inducción.

En la medida en que es primitivo y no demostrado, el conocimiento humano se divide así en dos clases: conocimiento de hechos particulares, que es el único que nos permite afirmar la existencia, y conocimiento de la verdad lógica, que es el único que nos permite razonar sobre los datos. En la ciencia y en la vida cotidiana, los dos tipos de conocimiento se entremezclan: las proposiciones que se afirman se obtienen de premisas particulares mediante principios lógicos. En la percepción pura solo encontramos el conocimiento de hechos particulares: en la matemática pura, solo encontramos el conocimiento de las verdades lógicas. Para que tal conocimiento sea posible, es necesario que existan verdades lógicas evidentes, es decir, verdades que se conocen sin demostración.

Por tanto, es posible hacer afirmaciones, no sólo sobre los casos que hemos podido observar, sino sobre todos los casos reales o posibles. La existencia de afirmaciones de este tipo y su necesidad de casi todos los conocimientos que se dice que se basan en la experiencia muestra que el empirismo tradicional está equivocado y que existe un conocimiento a priori y universal.

A pesar de que el empirismo tradicional está equivocado en su teoría del conocimiento, no debe suponerse que el idealismo tiene razón. El idealismo, al menos toda teoría del conocimiento que se deriva de Kant, supone que la universalidad de las verdades a priori proviene de su propiedad de expresar propiedades de la mente: las cosas parecen ser así porque la naturaleza de la apariencia depende del sujeto en el De la misma forma que, si tenemos anteojos azules, todo parece azul. Las categorías de Kant son los espectáculos de colores de la mente; verdades a priorison las falsas apariencias que producen esos espectáculos. Además, debemos saber que todo el mundo tiene gafas del mismo tipo y que el color de las gafas nunca cambia. Kant no se dignó decirnos cómo sabía esto.

Tan pronto como tomamos en cuenta las consecuencias de la hipótesis de Kant, se hace evidente que las verdades generales y a priori deben tener la misma objetividad, la misma independencia de la mente, que poseen los hechos particulares del mundo físico. De hecho, si las verdades generales solo expresan hechos psicológicos, no podríamos saber que serían constantes de momento a momento o de persona a persona, y nunca podríamos utilizarlas legítimamente para deducir un hecho de otro hecho, ya que no conectarían hechos sino nuestras ideas sobre los hechos. La lógica y las matemáticas nos obligan, entonces, a admitir una especie de realismo en el sentido escolástico, es decir, a admitir que hay un mundo de universales y de verdades que no inciden directamente en tal o cual existencia particular. Este mundo de universales debesubsistir, aunque no puede existir en el mismo sentido en el que existen datos particulares. Tenemos conocimiento inmediato de un número indefinido de proposiciones sobre universales: este es un hecho último, tan último como lo es la sensación. La matemática pura, que generalmente se llama "lógica" en sus partes elementales, es la suma de todo lo que podemos saber, ya sea directamente o por demostración, sobre ciertos universales.

Sobre el tema de las verdades evidentes, es necesario evitar un malentendido. La autoevidencia es una propiedad psicológica y, por tanto, subjetiva y variable. Es esencial para el conocimiento, ya que todo conocimiento debe ser evidente por sí mismo o deducirse del conocimiento evidente por sí mismo. Pero el orden del conocimiento que se obtiene partiendo de lo que es autoevidente no es lo mismo que el orden de la deducción lógica, y no debemos suponer que cuando damos tales o cuales premisas para un sistema deductivo, estamos de opinión. que estas premisas constituyen lo que es evidente en el sistema. En primer lugar, la autoevidencia tiene grados: es muy posible que las consecuencias sean más evidentes que las premisas. En segundo lugar, puede suceder que estemos seguros de la verdad de muchas de las consecuencias, pero que las premisas sólo parecen probables, y que su probabilidad se debe al hecho de que de ellas fluyen verdaderas consecuencias. En tal caso, de lo que podemos estar seguros es de que las premisas implican todas las verdaderas consecuencias que se deseaba colocar en el sistema deductivo. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. y que su probabilidad se debe al hecho de que de ellos fluyen verdaderas consecuencias. En tal caso, de lo que podemos estar seguros es de que las premisas implican todas las verdaderas consecuencias que se deseaba colocar en el sistema deductivo. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. y que su probabilidad se debe al hecho de que de ellos fluyen verdaderas consecuencias. En tal caso, de lo que podemos estar seguros es de que las premisas implican todas las verdaderas consecuencias que se deseaba colocar en el sistema deductivo. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. En tal caso, de lo que podemos estar seguros es de que las premisas implican todas las verdaderas consecuencias que se deseaba colocar en el sistema deductivo. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. En tal caso, de lo que podemos estar seguros es de que las premisas implican todas las verdaderas consecuencias que se deseaba colocar en el sistema deductivo. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. Esta observación tiene una aplicación a los fundamentos de las matemáticas, ya que muchas de las premisas últimas son intrínsecamente menos evidentes que muchas de las consecuencias que se deducen de ellas. Además, si ponemos demasiado énfasis en la autoevidencia de las premisas de un sistema deductivo, podemos llegar a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. podemos ser inducidos a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él. podemos ser inducidos a confundir el papel que juega la intuición (no espacial sino lógica) en las matemáticas. La cuestión de la parte de la intuición lógica es una cuestión psicológica y no es necesario, al construir un sistema deductivo, tener una opinión sobre él.

En resumen, hemos visto, en primer lugar, que la lógica matemática ha resuelto los problemas del infinito y la continuidad, y que ha hecho posible una sólida filosofía del espacio, el tiempo y el movimiento. En segundo lugar, hemos visto que la matemática pura puede definirse como la clase de proposiciones que se expresan exclusivamente en términos de variables y constantes lógicas, es decir, como la clase de proposiciones puramente formales. En tercer lugar, hemos visto que la posibilidad del conocimiento matemático refuta tanto el empirismo como el idealismo, ya que muestra que el conocimiento humano no se deduce totalmente de los hechos del sentido, pero que el conocimiento a priori no puede explicarse de ninguna manera de manera subjetiva o subjetiva. manera psicológica.



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